Tính thể tích khối hộp và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

a) Vì \(AA' \perp (ABCD)\) nên chiều cao khối hộp là \(h = AA' = a\). Đáy \(ABCD\) là hình thoi (tất cả cạnh bằng \(a\)). Đường chéo \(BD\) chia \(ABCD\) thành hai tam giác \(ABD\) và \(BCD\) bằng nhau (chung đáy \(BD\), chiều cao \(AO = OC\) vì \(O\) là trung điểm \(AC\)). Diện tích tam giác \(ABD\): \[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin\widehat{BAD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Diện tích đáy: \[S_{ABCD} = 2S_{ABD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\] Thể tích khối hộp: \[V = AA' \cdot S_{ABCD} = a \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}\] b) Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AO \perp BD\). Vì \(AA' \perp (ABCD)\) nên \(AA' \perp BD\). Trong mặt phẳng \((A'AO)\), hai đường thẳng \(AA'\) và \(AO\) cùng vuông góc với \(BD\) và cắt nhau tại \(A\), nên \(BD \perp (A'AO)\). Mà \(BD \subset (A'BD)\) và \((A'AO) \cap (A'BD) = A'O\), suy ra \((A'AO) \perp (A'BD)\). Trong mặt phẳng \((A'AO)\), kẻ \(AE \perp A'O\). Vì \((A'AO) \perp (A'BD)\) theo giao tuyến \(A'O\) nên \(AE \perp (A'BD)\). Vậy \(d(A, (A'BD)) = AE\). Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD = a\) và \(\widehat{BAD} = 60^\circ\) nên là tam giác đều, do đó: \[OA = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Tam giác \(A'AO\) vuông tại \(A\) (vì \(AA' \perp (ABCD)\) suy ra \(AA' \perp AO\)). Áp dụng công thức đường cao: \[\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{OA^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{7}{3a^2}\] \[AE^2 = \frac{3a^2}{7} \Rightarrow AE = \frac{a\sqrt{21}}{7}\] Vậy \(d(A, (A'BD)) = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}\).