a) Ta có \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\) và theo yêu cầu định nghĩa thì \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a\). Hai biểu thức đều lũy thừa bậc n cho kết quả bằng a, nên:
\[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\]
b) Từ câu a, \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\), thay vào:
\[a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}\]
Câu hỏi:
Trường hợp a < 0: Giả sử định nghĩa trên áp dụng được cho a < 0. Xét \((-1)^{\frac{1}{3}}\).
Theo định nghĩa: \((-1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-1)^1} = -1\).
Mặt khác, vì \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\), nên \((-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1\).
Vậy từ định nghĩa suy ra \(-1 = 1\), tức là:
\[-1 = \sqrt[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = 1\]
Đây là mâu thuẫn, nên định nghĩa với cơ số âm không hợp lệ.
Trường hợp a = 0: Nếu số mũ là phân số âm, ví dụ:
\[0^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}\]
Biểu thức \(\frac{1}{0}\) không xác định, nên a = 0 cũng không hợp lệ khi số mũ âm.
Kết luận: Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0 để tránh mâu thuẫn và đảm bảo biểu thức luôn xác định.
