Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Nhận xét dãy \(1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \ldots + \dfrac{1}{7^{n-1}} + \ldots\) là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = \dfrac{1}{7}\). Vì \(|q| = \dfrac{1}{7} < 1\) nên tổng của dãy này tồn tại. Đặt nhân tử chung: \[S = 2 + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7^2} + \ldots = 2\left(1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \ldots\right)\] Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \[1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \ldots = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{7}} = \dfrac{1}{\dfrac{6}{7}} = \dfrac{7}{6}\] Vậy: \[S = 2 \times \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{3}\]