a) Tam giác OAB vuông tại O với \(OA = a\), \(OB = 1\).
Theo định lý Pytago: \(AB = \sqrt{a^2 + 1}\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(OA \cdot OB = AB \cdot OH\), tức là:
\[
a \cdot 1 = \sqrt{a^2 + 1} \cdot h \implies h = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}.
\]
b) Xét giới hạn khi \(a \to 0\):
\[
\lim_{a \to 0} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{0 + 1}} = 0.
\]
Khi \(A\) dịch chuyển về \(O\), điểm \(H\) cũng dịch chuyển về \(O\) và \(h\) dần về \(0\). Điều này hợp lý vì \(A\) tiến đến \(O\) thì tam giác OAB xẹp lại, đường cao OH ngắn dần.
c) Xét giới hạn khi \(a \to +\infty\). Chia cả tử và mẫu cho \(a\) (với \(a > 0\)):
\[
\lim_{a \to +\infty} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \lim_{a \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{a^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1.
\]
Khi \(A\) dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương trục \(Ox\), điểm \(H\) dịch chuyển về phía \(B\) và \(h\) dần về \(1 = OB\). Điều này hợp lý vì cạnh huyền AB gần như song song với trục \(Ox\), nên đường cao OH gần bằng \(OB\).
