Chứng minh hình bình hành và hình lăng trụ từ trọng tâm tam giác
Problem:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.
a) Chứng minh rằng tứ giác AGG'A' là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.
a) Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\), suy ra AG = A'G'.
Mặt khác, hai đáy của lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song (ABC) và (A'B'C'). Mặt phẳng (AGG'A') cắt (ABC) theo giao tuyến AG và cắt (A'B'C') theo giao tuyến A'G'. Vì (ABC) // (A'B'C') nên AG // A'G'.
Tứ giác AGG'A' có AG = A'G' và AG // A'G', do đó AGG'A' là hình bình hành.
b) Từ AGG'A' là hình bình hành suy ra AA' // GG' và AA' = GG'.
Lại có AA' // CC' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ).
Trong mặt phẳng (AGC): AG và GC là hai đường thẳng cắt nhau tại G. Trong mặt phẳng (A'G'C'): A'G' và G'C' là hai đường thẳng cắt nhau tại G'. Vì AG // A'G' và GC // G'C' nên (AGC) // (A'G'C').
Hai đáy AGC và A'G'C' là hai tam giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh bên AA', GG', CC' song song và bằng nhau. Do đó AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.