Tính đạo hàm của hàm số căn bậc hai bằng định nghĩa

Lấy \(x_0 > 0\) bất kì. Theo định nghĩa đạo hàm: \[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{x - x_0}\] Phân tích mẫu bằng hằng đẳng thức \(x - x_0 = (\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})\): \[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}}\] Cho \(x \to x_0\): \[f'(x_0) = \frac{1}{\sqrt{x_0} + \sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\] Vì \(x_0 > 0\) là tùy ý, hàm số \(y = \sqrt{x}\) có đạo hàm tại mọi \(x > 0\) và: \[y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]