Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, \(\widehat{ABC} = 150^\circ\). Tính thể tích của khối lăng trụ.
Problem Analysis
Problem Summary
Bài cho khối lăng trụ đứng với chiều cao AA' = 5 cm và đáy là tam giác ABC có AB = 6 cm, BC = 2 cm, góc ABC = 150°. Cần tính thể tích khối lăng trụ.
Required Knowledge
Thể tích khối lăng trụ đứng: \(V = S_{đáy} \cdot h\), trong đó h là chiều cao (bằng độ dài cạnh bên AA'). Diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa: \(S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC}\). Giá trị \(\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}\).
Solution Method
Chỉ có một cách. Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức \(S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC}\), sau đó nhân với chiều cao AA' để ra thể tích.
Real-world Application
Một cái lều cắm trại có mặt cắt ngang là hình tam giác với hai cạnh 6 m và 2 m, góc giữa hai cạnh đó là 150°, chiều dài lều là 5 m — tính thể tích không gian bên trong lều.
Hints (0/3)
Hint 1:
Đáy của lăng trụ là tam giác ABC. Em tính diện tích tam giác này bằng công thức \(S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC}\). Chú ý \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).
Hint 2:
Sau khi có diện tích đáy, chiều cao của lăng trụ đứng chính là độ dài cạnh bên AA' = 5 cm. Áp dụng \(V = S_{đáy} \cdot h\) để tính thể tích.
Hint 3:
Diện tích đáy: \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 3\) cm². Nhân thêm chiều cao 5 cm là ra kết quả.
Detailed solution
Diện tích tam giác ABC:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ (cm}^2\text{)}\]
Thể tích khối lăng trụ đứng:
\[V = AA' \cdot S = 5 \cdot 3 = 15 \text{ (cm}^3\text{)}\]