Tính đạo hàm của hàm logarit bằng định nghĩa

a) Với \(x_0 > 0\) bất kì, áp dụng định nghĩa đạo hàm: \[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x_0 + h) - \ln x_0}{h}\] Dùng đẳng thức đã cho: \[= \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \dfrac{h}{x_0}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot \frac{\ln\left(1 + \dfrac{h}{x_0}\right)}{\dfrac{h}{x_0}}\] Khi \(h \to 0\) thì \(t = \dfrac{h}{x_0} \to 0\), nên: \[= \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0}\] Vậy hàm số \(y = \ln x\) có đạo hàm \(y' = \dfrac{1}{x}\). b) Vì \({\log_a x} = \dfrac{\ln x}{\ln a}\) và \(\ln a\) là hằng số, nên: \[(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}\]