Chứng minh ba điểm chia đều các cạnh tứ diện SABC
Problem:
Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm \(A_1, A_2\) sao cho \(AA_1 = A_1A_2 = A_2S.\) Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua \(A_1, A_2\). Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại \(B_1, C_1.\) Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại \(B_2, C_2.\) Chứng minh \(BB_1 = B_1B_2 = B_2S\) và \(CC_1 = C_1C_2 = C_2S.\)
Vì (P) song song với (ABC) và (Q) song song với (ABC) nên ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) đôi một song song nhau.
Áp dụng định lí Thales trong không gian cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SC:
\[\frac{C_2S}{A_2S} = \frac{C_1C_2}{A_1A_2} = \frac{CC_1}{AA_1}.\]
Vì \(AA_1 = A_1A_2 = A_2S\) nên ba tỉ số trên đều bằng nhau và các tử số bằng nhau, suy ra:
\[CC_1 = C_1C_2 = C_2S.\]
Áp dụng định lí Thales trong không gian cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SB:
\[\frac{B_2S}{A_2S} = \frac{B_1B_2}{A_1A_2} = \frac{BB_1}{AA_1}.\]
Vì \(AA_1 = A_1A_2 = A_2S\) nên suy ra:
\[BB_1 = B_1B_2 = B_2S.\]