Tính giá trị biểu thức lượng giác dùng công thức cộng

a) Tính \(\cos a\): \[\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.\] Vì \(\dfrac{\pi}{2} < a < \pi\) nên \(\cos a < 0\), do đó: \[\cos a = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}.\] Áp dụng công thức cộng: \[\cos\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cos\frac{\pi}{6} - \sin a \sin\frac{\pi}{6}\] \[= -\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}\] \[= -\frac{\sqrt{18}}{6} - \frac{1}{2\sqrt{3}}\] \[= -\frac{3\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}\] \[= -\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}.\] b) Tính \(\sin a\): \[\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.\] Vì \(\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}\) nên \(\sin a < 0\), do đó: \[\sin a = -\frac{2\sqrt{2}}{3}.\] Tính \(\tan a\): \[\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{-\dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{2}.\] Áp dụng công thức cộng cho tang: \[\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan a - \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 + \tan a \cdot \tan\dfrac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2}}.\] Trục căn thức ở mẫu: \[= \frac{(2\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{2} - 1)}{(1 + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{1}{1}\] Nhân tử và mẫu với \((2\sqrt{2} - 1)\): \[= \frac{(2\sqrt{2}-1)^2}{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{8 - 1} = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{7}.\]