Chứng minh và thiết lập công thức cộng lượng giác

a) Tính VT: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Tính VP: \(\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). VT = VP, vậy \(\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\). b) Vì \(a + b = a - (-b)\), áp dụng công thức câu a với \(b\) thay bằng \(-b\): \(\cos(a + b) = \cos a\cos(-b) + \sin a\sin(-b)\) \(= \cos a\cos b + \sin a \cdot (-\sin b)\) \(= \cos a\cos b - \sin a\sin b\). c) Ta có: \(\sin(a - b) = \cos\left[\dfrac{\pi}{2} - (a - b)\right] = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) + b\right]\) Áp dụng công thức câu b: \(= \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right)\cos b - \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right)\sin b\) Dùng công thức hai góc phụ nhau: \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) = \sin a\) và \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) = \cos a\): \(= \sin a\cos b - \cos a\sin b\). Vậy \(\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).