Chứng minh tính chất hình chóp đều bị cắt bởi mặt phẳng song song đáy

a) Mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng đáy và không qua S. Áp dụng định lý Talét vào từng tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, ..., SAₙ₋₁Aₙ, ta có: \[\frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \frac{B_1B_2}{A_1A_2} = \ldots = \frac{SB_n}{SA_n} = k \quad (0 < k < 1)\] Vì S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều nên: - Đáy A₁A₂...Aₙ là đa giác đều, tức là A₁A₂ = A₂A₃ = ... = Aₙ₋₁Aₙ. Từ tỉ lệ trên suy ra B₁B₂ = B₂B₃ = ... = Bₙ₋₁Bₙ, nên B₁B₂...Bₙ là đa giác đều. - Các cạnh bên SA₁ = SA₂ = ... = SAₙ. Từ tỉ lệ trên suy ra SB₁ = SB₂ = ... = SBₙ. Vậy S.B₁B₂...Bₙ là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, tức là S.B₁B₂...Bₙ là hình chóp đều. b) Vì S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều, H là tâm của đa giác đáy A₁A₂...Aₙ nên: \[SH \perp (A_1A_2\ldots A_n)\] Vì \((A_1A_2\ldots A_n) // (B_1B_2\ldots B_n)\), theo tính chất đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song: \[SH \perp (B_1B_2\ldots B_n)\] Mặt khác, S.B₁B₂...Bₙ là hình chóp đều (theo câu a), K là tâm của đa giác đáy B₁B₂...Bₙ nên: \[SK \perp (B_1B_2\ldots B_n)\] Qua điểm S chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((B_1B_2\ldots B_n)\), mà cả SH và SK đều vuông góc với mặt phẳng đó và cùng đi qua S, nên SH và SK trùng nhau. Vậy đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B₁B₂...Bₙ. Đoạn HK là một phần của đường thẳng SH, và SH vuông góc với cả hai mặt phẳng \((A_1A_2\ldots A_n)\) và \((B_1B_2\ldots B_n)\), nên HK vuông góc với cả hai mặt phẳng đó.