Xét lần lượt từng trường hợp:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là độ dài MH, với H là hình chiếu vuông góc của M lên a. Với bất kỳ điểm N nào khác trên a, tam giác MHN vuông tại H nên MN > MH. Vậy MH là khoảng cách nhỏ nhất từ M đến một điểm thuộc a.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài MH, với H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Với bất kỳ điểm N nào khác thuộc (P), đoạn MH vuông góc với (P) nên MN > MH. Vậy MH là khoảng cách nhỏ nhất từ M đến một điểm thuộc (P).
Khoảng cách giữa đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên a đến (P). Vì a song song (P), mọi điểm trên a đều cách (P) cùng một khoảng bằng MH. Đây chính là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc a và một điểm thuộc (P).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ thuộc (P) đến (Q). Mọi điểm thuộc (P) đều cách (Q) cùng một khoảng bằng MH (với H là hình chiếu của M lên (Q)). Đây là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc (P) và một điểm thuộc (Q).
Trong tất cả các trường hợp, khoảng cách đều được đo theo đường vuông góc — tức là đoạn ngắn nhất. Vì vậy, khoảng cách giữa hai hình (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) luôn là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.
