Tính khoảng cách trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

a) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ \(CE \perp BD\). Vì \(BB' \perp (ABCD)\) nên \(BB' \perp CE\). Kết hợp với \(CE \perp BD\), suy ra \(CE \perp (BB'D'D)\). Do CC' // BB' nên CC' // (BB'D'D). Vì vậy: \(d(CC', (BB'D'D)) = d(C, (BB'D'D)) = CE\). Xét tam giác BCD vuông tại C (vì ABCD là hình chữ nhật, BC \(\perp\) CD), với BC = c và CD = AB = b. Áp dụng công thức đường cao: \[\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{CD^2} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + c^2}{b^2 c^2}\] \[\Rightarrow CE = \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\] Vậy khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D) là \(\dfrac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\). b) Vì \(AC \subset (ABCD)\) và \(B'D' \subset (A'B'C'D')\), mà \((ABCD) // (A'B'C'D')\), nên AC và B'D' là hai đường thẳng chéo nhau nằm trong hai mặt phẳng song song. Do đó: \[d(AC, B'D') = d((ABCD), (A'B'C'D')) = BB' = a\] Đường vuông góc chung của AC và B'D' là đoạn thẳng nối trung điểm của AC với trung điểm của B'D' (vì hai đường chéo này cắt nhau tại trung điểm của hình chữ nhật tương ứng, và đường nối hai trung điểm vuông góc với cả hai mặt phẳng đáy). Vậy khoảng cách giữa AC và B'D' là \(a\).