Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Problem:
Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên khoảng \( (a; b) \) và \( x_0 \in (a; b) \). Đặt \( \Delta x \) là số gia của đối số tại \( x_0 \), tức là \( x_0 + \Delta x \in (a; b) \).
Số gia tương ứng của hàm số tại \( x_0 \) là:
\[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \), ký hiệu là \( f'(x_0) \) hoặc \( y'(x_0) \).
Vậy:
\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]
Ý nghĩa hình học: \( f'(x_0) \) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( M(x_0,\, f(x_0)) \).
Ý nghĩa vật lý: Nếu \( s = f(t) \) là quãng đường đi được theo thời gian \( t \), thì \( f'(t_0) \) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t_0 \).