Tính đạo hàm hàm hợp và hàm tích

a) Đặt \(u = \dfrac{2x-1}{x+2}\). Tính \(u'\) bằng công thức đạo hàm thương: \[ u' = \frac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{2x+4-2x+1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} \] Áp dụng \((u^5)' = 5u^4 \cdot u'\): \[ y' = 5\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)^4 \cdot \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{25(2x-1)^4}{(x+2)^6} \] b) Dùng công thức đạo hàm thương với \(u = 2x\), \(v = x^2+1\): \[ y' = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} \] c) Dùng công thức đạo hàm tích với \(u = e^x\), \(v = \sin^2 x\): \[ (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x \] \[ y' = e^x \cdot \sin^2 x + e^x \cdot \sin 2x = e^x(\sin^2 x + \sin 2x) \] d) Đặt \(u = x + \sqrt{x}\). Tính \(u'\): \[ u' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} \] Áp dụng \((\log u)' = \dfrac{u'}{u\ln 10}\): \[ y' = \frac{\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}{(x+\sqrt{x})\ln 10} = \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}(x+\sqrt{x})\ln 10} \]