a) Trong (AA’B’B), gọi \(D = PM \cap BB'\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}D \in BB' \subset (BB'C'C)\\N \in BC \subset (BB'C'C)\end{array} \right. \Rightarrow DN \subset (BB'C'C)\).
Trong (BB’C’C), gọi \(K = DN \cap B'C\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}D \in PM \subset (MNP)\\N \in (MNP)\end{array} \right. \Rightarrow DN \subset (MNP)\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow K \in DN \subset (MNP)\\K \in B'C\end{array} \right\} \Rightarrow K \in B'C \cap (MNP)\).
Vậy giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C là K.
b) MP là đường trung bình tam giác ABA’ nên MP // A’B hay PD // A’B (1)
ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên AA’ // BB’ hay A’P // BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra A’PDB là hình bình hành.
Suy ra \(BD = A'P = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{BB'}}{2} \Rightarrow \frac{{BD}}{{B'D}} = \frac{1}{3}\).
Mà EN là đường trung bình tam giác KB’D nên ta có:
\(EN = \frac{{BB'}}{2} = BD \Rightarrow \frac{{EN}}{{B'D}} = \frac{{BD}}{{B'D}} = \frac{1}{3}\).
Theo định lí Thales, vì EN // B’D nên \(\frac{{KE}}{{KB'}} = \frac{{EN}}{{B'D}} = \frac{1}{3}\).
\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KB' - KE}} = \frac{1}{{3 - 1}} \Leftrightarrow \frac{{KE}}{{B'E}} = \frac{{KE}}{{EC}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó \(\frac{{KC}}{{KB'}} = \frac{{KE}}{{KB'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{KB'}}{{KC}} = 3\).
