Tính khoảng cách trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C'

a) Vì lăng trụ đứng nên BB' ⊥ (ABC). Mà BB' ⊂ (BCC'B'), nên (ABC) ⊥ (BCC'B'). Giao tuyến của hai mặt phẳng này là BC. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ AH ⊥ BC. Theo định lí đường vuông góc chung, AH ⊥ (BCC'B'). Do đó \(d\left(A, (BCC'B')\right) = AH\). Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{2}{a^2}\] \[\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\). b) Xác định dạng tam giác ABC': Vì lăng trụ đứng nên AA' ⊥ (ABC), suy ra AB ⊥ AA'. Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC. Từ AB ⊥ AA' và AB ⊥ AC, suy ra AB ⊥ mặt phẳng (ACC'A'). Vì AC' ⊂ (ACC'A'), nên AB ⊥ AC'. Vậy tam giác ABC' là tam giác vuông tại A. Tính khoảng cách từ A đến BC': Trong tam giác ACC' vuông tại C, áp dụng Pytago: \[AC'^2 = AC^2 + CC'^2 = a^2 + h^2\] Trong tam giác ABC' vuông tại A, kẻ AK ⊥ BC'. Khi đó \(d(A, BC') = AK\). Áp dụng hệ thức lượng: \[\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC'^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2 + h^2} = \frac{2a^2 + h^2}{a^2(a^2 + h^2)}\] \[\Rightarrow AK^2 = \frac{a^2(a^2 + h^2)}{2a^2 + h^2}\] \[\Rightarrow AK = a\sqrt{\frac{a^2 + h^2}{2a^2 + h^2}}\] Vậy khoảng cách từ A đến BC' là \(a\sqrt{\dfrac{a^2 + h^2}{2a^2 + h^2}}\).