Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản được tóm tắt như sau.
Phương trình \(\sin x = m\):
- Nếu \(|m| > 1\): phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|m| \leq 1\): đặt \(m = \sin \alpha\), nghiệm là:
\[x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Phương trình \(\cos x = m\):
- Nếu \(|m| > 1\): phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|m| \leq 1\): đặt \(m = \cos \alpha\), nghiệm là:
\[x = \pm \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Phương trình \(\tan x = m\) (điều kiện \(\cos x \neq 0\)):
- Luôn có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\). Đặt \(m = \tan \alpha\), nghiệm là:
\[x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Phương trình \(\cot x = m\) (điều kiện \(\sin x \neq 0\)):
- Luôn có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\). Đặt \(m = \cot \alpha\), nghiệm là:
\[x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Hai phương trình tương đương (ký hiệu \(\Leftrightarrow\)) khi chúng có cùng tập nghiệm. Trong giải phương trình lượng giác, mỗi bước biến đổi cần đảm bảo tương đương để không mất nghiệm hoặc thêm nghiệm ngoại lai.
