Dẫn dắt công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

a) Dùng công thức \(u_k = u_1 + (k-1)d\), biểu diễn từng số hạng: \[ u_1 = u_1 \] \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ \vdots \] \[ u_{n-1} = u_1 + (n-2)d \] \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Vậy: \[ S_n = u_1 + (u_1 + d) + (u_1 + 2d) + \ldots + (u_1 + (n-2)d) + (u_1 + (n-1)d) \quad (1) \] b) Viết \(S_n\) theo thứ tự ngược lại, rồi thay mỗi số hạng bằng biểu thức theo \(u_1\) và \(d\): \[ S_n = u_n + u_{n-1} + \ldots + u_2 + u_1 \] \[ S_n = (u_1 + (n-1)d) + (u_1 + (n-2)d) + \ldots + (u_1 + d) + u_1 \quad (2) \] c) Cộng từng vế của (1) và (2): \[ 2S_n = \bigl(u_1 + u_1 + (n-1)d\bigr) + \bigl((u_1+d) + (u_1+(n-2)d)\bigr) + \ldots + \bigl((u_1+(n-1)d) + u_1\bigr) \] Mỗi cặp đều bằng \(2u_1 + (n-1)d\), và có \(n\) cặp: \[ 2S_n = n\bigl(2u_1 + (n-1)d\bigr) \] \[ \Rightarrow S_n = \frac{n}{2}\bigl(2u_1 + (n-1)d\bigr) \]