a) Vì \(n \ge 1\) nên \(n - 1 \ge 0\), do đó \(u_n \ge 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Vậy \((u_n)\) bị chặn dưới bởi 0.
\((u_n)\) không bị chặn trên vì khi n tăng, \(u_n = n - 1\) tăng không giới hạn, không tồn tại số M nào thỏa \(n - 1 \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
b) Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\):
\(u_n = \dfrac{n+1}{n+2} > 0\)
\(u_n = \dfrac{n+2-1}{n+2} = 1 - \dfrac{1}{n+2} < 1\)
Do đó \(0 < u_n < 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Vậy \((u_n)\) bị chặn (bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1).
c) Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có \(-1 \le \sin n \le 1\), tức là \(-1 \le u_n \le 1\).
Vậy \((u_n)\) bị chặn.
d) Xét hai trường hợp:
- Nếu n lẻ: \(u_n = (-1)^{n-1} \cdot n^2 = n^2 > 0\). Khi n lẻ tăng không giới hạn, \(u_n\) tăng không giới hạn, nên \((u_n)\) không bị chặn trên.
- Nếu n chẵn: \(u_n = (-1)^{n-1} \cdot n^2 = -n^2 < 0\). Khi n chẵn tăng không giới hạn, \(u_n\) giảm không giới hạn, nên \((u_n)\) không bị chặn dưới.
Vậy \((u_n)\) không bị chặn.
