Chứng minh đường vuông góc chung và cạnh đối diện vuông góc trong tứ diện đều
Problem:
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.
a) Xét tam giác BCD đều cạnh a, N là trung điểm CD. Đường trung tuyến BN của tam giác đều vuông góc với CD, nên \(BN \perp CD\).
Xét tam giác ACD đều cạnh a, N là trung điểm CD. Tương tự, \(AN \perp CD\).
BN và AN là hai đường thẳng cắt nhau (tại N) cùng nằm trong mặt phẳng (ABN) và cùng vuông góc với CD, nên:
\[CD \perp (ABN) \Rightarrow CD \perp MN \quad (1)\]
Xét tam giác ABN: vì BN và AN lần lượt là trung tuyến của hai tam giác đều BCD và ACD cùng cạnh a, ta có \(BN = AN\). Do đó tam giác ABN cân tại N. M là trung điểm AB, nên NM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB, suy ra:
\[AB \perp MN \quad (2)\]
Từ (1) và (2), MN vuông góc với cả AB và CD. Vì M nằm trên AB, N nằm trên CD, nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Từ kết quả phần a), ta đã có \(CD \perp (ABN)\). Vì \(AB \subset (ABN)\), suy ra:
\[CD \perp AB\]
Đây là một cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD.
Chứng minh tương tự (đổi vai trò các đỉnh), ta được:
\[BC \perp AD, \quad BD \perp AC\]
Vậy tất cả các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều ABCD đều vuông góc với nhau.