Chứng minh song song và tính khoảng cách hai mặt phẳng trong hình lập phương
Problem:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau, và DB' vuông góc với cả hai mặt phẳng đó.
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DB' với (D'AC) và (BC'A'). Tính khoảng cách d((D'AC), (BC'A')).
a) Chứng minh (D'AC) // (BC'A') và DB' ⊥ (D'AC), DB' ⊥ (BC'A').
Trong hình lập phương: AC // A'C' (hai đường chéo của hai mặt đáy song song) và D'C // A'B (hai cạnh đối của hình chữ nhật A'B'CD).
Vì AC và D'C là hai đường thẳng cắt nhau trong (D'AC), còn A'C' và A'B là hai đường thẳng cắt nhau trong (BC'A'), và AC // A'C', D'C // A'B, nên:
\[(D'AC) // (BC'A')\]
Chứng minh \(DB' \perp AC\):
Trong hình lập phương, \(AC \perp BD\) (hai đường chéo của hình vuông ABCD) và \(AC \perp BB'\) (cạnh bên vuông góc mặt đáy). Suy ra \(AC \perp (BDB')\). Vì \(B'D \subset (BDB')\) nên \(AC \perp B'D\).
Chứng minh \(DB' \perp D'C\):
Trong hình lập phương, \(A'B \perp AB'\) (đường chéo hai mặt đối diện vuông góc nhau) và \(A'B \perp AD\) (cạnh vuông góc). Suy ra \(A'B \perp (AB'D)\). Vì \(B'D \subset (AB'D)\) nên \(A'B \perp B'D\). Mà \(A'B // D'C\), do đó \(D'C \perp B'D\).
Vì \(B'D \perp AC\) và \(B'D \perp D'C\), trong đó AC và D'C cắt nhau trong (D'AC), nên:
\[B'D \perp (D'AC)\]
Vì \(B'D \perp A'C'\) (do AC // A'C' và \(B'D \perp AC\)) và \(B'D \perp A'B\), trong đó A'C' và A'B cắt nhau trong (BC'A'), nên:
\[B'D \perp (BC'A')\]
b) Xác định E, F và tính d((D'AC), (BC'A')).
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(O' = A'C' \cap B'D'\) (O và O' là tâm của hai mặt đáy).
Trong mặt phẳng (BB'D'D), vẽ đoạn D'O cắt B'D tại E và đoạn BO' cắt B'D tại F.
Vì \(B'D \perp (D'AC)\) nên E là giao điểm của B'D với (D'AC). Vì \(B'D \perp (BC'A')\) nên F là giao điểm của B'D với (BC'A').
Do \(B'D \perp BO'\) (vì \(B'D \perp (BC'A')\)) và \(B'D \perp OD'\) (vì \(B'D \perp (D'AC)\)), suy ra \(BO' // OD'\).
Áp dụng định lý Thales trong tam giác có \(BO' // OD'\):
\[\frac{DE}{EF} = \frac{DO}{BO} = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow DE = EF\]
\[\frac{B'F}{EF} = \frac{B'O'}{O'D'} = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow B'F = EF\]
Vậy \(B'D = DE + EF + B'F = 3 \cdot EF\), tức là:
\[EF = \frac{B'D}{3}\]
Tính B'D:
Tam giác ABD vuông tại A:
\[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\]
Tam giác BB'D vuông tại B:
\[B'D = \sqrt{BB'^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}\]
Do đó:
\[EF = \frac{a\sqrt{3}}{3}\]
Vì \(B'D \perp (BC'A')\) nên d(E, (BC'A')) = EF. Vậy:
\[d\left((D'AC),\ (BC'A')\right) = \frac{a\sqrt{3}}{3}\]