Đổi đơn vị: 200 m = 0,2 km; 50 m = 0,05 km.
Gọi H là chân đường vuông góc từ A xuống lề đường. Đặt CH = x (km), x > 0.
Xét tam giác CHA vuông tại H:
\[CA^2 = CH^2 + AH^2 = x^2 + (0{,}05)^2 = x^2 + 0{,}0025\]
\[\Rightarrow CA = \sqrt{x^2 + 0{,}0025}\]
Thời gian Minh đi bộ từ A đến C:
\[t_{\text{Minh}} = \frac{\sqrt{x^2 + 0{,}0025}}{5} \text{ (giờ)}\]
Xét tam giác AHB vuông tại H:
\[HB^2 = AB^2 - AH^2 = (0{,}2)^2 - (0{,}05)^2 = 0{,}04 - 0{,}0025 = 0{,}0375\]
\[\Rightarrow HB = \sqrt{0{,}0375} = \frac{\sqrt{15}}{20}\]
Quãng đường Hùng đạp xe từ B đến C:
\[BC = HB - HC = \frac{\sqrt{15}}{20} - x\]
Thời gian Hùng đi từ B đến C:
\[t_{\text{Hùng}} = \frac{\dfrac{\sqrt{15}}{20} - x}{15} = \frac{\sqrt{15} - 20x}{300} \text{ (giờ)}\]
Để hai bạn gặp nhau mà không ai phải chờ:
\[\frac{\sqrt{x^2 + 0{,}0025}}{5} = \frac{\sqrt{15} - 20x}{300}\]
\[\Leftrightarrow 60\sqrt{x^2 + 0{,}0025} = \sqrt{15} - 20x\]
Điều kiện để bình phương hợp lệ: vế phải phải dương, tức \(\sqrt{15} - 20x > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{\sqrt{15}}{20}\).
Bình phương hai vế:
\[3600(x^2 + 0{,}0025) = 15 - 40\sqrt{15}\,x + 400x^2\]
\[3600x^2 + 9 = 15 - 40\sqrt{15}\,x + 400x^2\]
\[3200x^2 + 40\sqrt{15}\,x - 6 = 0\]
Dùng công thức nghiệm với \(a = 3200,\ b = 40\sqrt{15},\ c = -6\):
\[\Delta = (40\sqrt{15})^2 + 4 \cdot 3200 \cdot 6 = 24000 + 76800 = 100800\]
\[\sqrt{\Delta} = \sqrt{100800} = 60\sqrt{28} = 120\sqrt{7}\]
\[x = \frac{-40\sqrt{15} \pm 120\sqrt{7}}{6400} = \frac{-\sqrt{15} \pm 3\sqrt{7}}{160}\]
Do x > 0 nên chọn:
\[x = \frac{-\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{160}\]
Kiểm tra: giá trị này dương vì \(3\sqrt{7} \approx 7{,}94 > \sqrt{15} \approx 3{,}87\), và thỏa mãn \(x < \dfrac{\sqrt{15}}{20}\).
Tính BC:
\[BC = \frac{\sqrt{15}}{20} - \frac{-\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{160} = \frac{8\sqrt{15}}{160} - \frac{-\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{160} = \frac{9\sqrt{15} - 3\sqrt{7}}{160}\]
\[BC \approx \frac{9 \times 3{,}873 - 3 \times 2{,}646}{160} \approx \frac{34{,}857 - 7{,}937}{160} \approx \frac{26{,}92}{160} \approx 0{,}1682 \text{ (km)} = 168{,}2 \text{ (m)}\]
Vậy vị trí C cần tìm là điểm trên lề đường cách B khoảng 168,2 m.
