a) Phương trình \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) có dạng \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -12\).
Vậy tâm \(I(2;\, -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5\).
b) Thay \(x = 5\), \(y = 1\) vào vế trái phương trình (C):
\[5^2 + 1^2 - 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 - 12 = 25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0.\]
Kết quả bằng 0, nên M(5; 1) thuộc (C).
Tiếp tuyến d tại M vuông góc với bán kính IM, nên nhận \(\overrightarrow{IM}\) làm vectơ pháp tuyến.
\[\overrightarrow{IM} = (5 - 2;\; 1 - (-3)) = (3;\; 4).\]
Phương trình tiếp tuyến d đi qua M(5; 1) với vectơ pháp tuyến \((3; 4)\):
\[3(x - 5) + 4(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0.\]
