Tìm và phân nhóm các vectơ bằng nhau trong hình vuông ABCD
Problem:
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vectơ khác \(\overrightarrow{0}\), có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp \(\{A; B; C; D; O\}\). Sau đó chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Từ 5 điểm A, B, C, D, O, liệt kê tất cả vectơ khác \(\overrightarrow{0}\):
\[S = \{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AO};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO};\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CO};\overrightarrow{DB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DO};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OA}\}\]
Phân nhóm các vectơ bằng nhau:
Dựa vào tính chất hình vuông — AB // DC, AB = DC nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\); AD // BC, AD = BC nên \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\); O là trung điểm của AC và BD nên \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}\).
Các nhóm:
\[\{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}\},\quad\{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD}\},\quad\{\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\},\quad\{\overrightarrow{DA};\overrightarrow{CB}\},\]
\[\{\overrightarrow{AO};\overrightarrow{OC}\},\quad\{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CO}\},\quad\{\overrightarrow{OB};\overrightarrow{DO}\},\quad\{\overrightarrow{BO};\overrightarrow{OD}\}.\]
Các vectơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{DB}\) không bằng bất kỳ vectơ nào khác trong S (không có vectơ nào cùng hướng và cùng độ dài), nên mỗi vectơ đứng thành nhóm riêng: \(\{\overrightarrow{AC}\}\), \(\{\overrightarrow{CA}\}\), \(\{\overrightarrow{BD}\}\), \(\{\overrightarrow{DB}\}\).