a) Tính tích vô hướng:
\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = (-3).2 + 1.6 = -6 + 6 = 0\]
Vì \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0\) nên \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\), tức là \(\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 90^\circ\).
b) Tính tích vô hướng và độ dài hai vectơ:
\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.2 + 1.4 = 10\]
\[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}, \quad |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
Áp dụng công thức:
\[\cos\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = \frac{10}{\sqrt{10}.2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
Vậy \(\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 45^\circ\).
c) Kiểm tra tỉ số tọa độ:
\[\frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2}, \quad \frac{-\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2}\]
Hai tỉ số bằng nhau nên \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương. Hơn nữa:
\[\overrightarrow{b} = (2; -\sqrt{2}) = -\sqrt{2}.(-\sqrt{2}; 1) = -\sqrt{2}.\overrightarrow{a}\]
Hệ số tỉ lệ \(-\sqrt{2} < 0\) nên hai vectơ ngược hướng.
Vậy \(\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 180^\circ\).
Lưu ý: Khi tính góc giữa hai vectơ, nên kiểm tra theo thứ tự: tích vô hướng bằng 0 (góc \(90^\circ\)), hai vectơ cùng phương (góc \(0^\circ\) hoặc \(180^\circ\)), rồi mới dùng công thức cos cho các trường hợp còn lại.
