a) Từ điều kiện \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\), thay \(\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA}\):
\[\left(\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA}\right) + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\]
\[3\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\]
\[3\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{AB}\]
\[\overrightarrow{KB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\]
Vậy K nằm trên đoạn AB, cách B một khoảng \(KB = \dfrac{1}{3}AB\) (K nằm giữa A và B, gần B hơn).
b) Với O bất kì, chèn điểm K vào \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\):
\[\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}, \quad \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB}\]
Tính vế phải của đẳng thức cần chứng minh:
\[\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}\right) + \dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB}\right)\]
\[= \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right)\overrightarrow{OK} + \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB}\right)\]
\[= \overrightarrow{OK} + \dfrac{1}{3}\cdot\overrightarrow{0} = \overrightarrow{OK}\]
(vì theo câu a, \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\))
Vậy với mọi điểm O, \(\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\). (đpcm)
