Xét biểu thức ở vế phải, đặt \(P = \dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - \left(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right)^2}\).
Theo công thức tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A\]
Thay vào:
\[P = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 \cdot AC^2 - \left(AB \cdot AC \cdot \cos A\right)^2}\]
\[= \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 \cdot AC^2 - AB^2 \cdot AC^2 \cdot \cos^2 A}\]
\[= \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 \cdot AC^2\left(1 - \cos^2 A\right)}\]
Vì \(1 - \cos^2 A = \sin^2 A\), nên:
\[P = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 \cdot AC^2 \cdot \sin^2 A}\]
Do \(AB > 0\), \(AC > 0\) và \(0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ\) nên \(\sin A > 0\). Khai căn:
\[P = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\]
Đây chính là công thức diện tích tam giác ABC, vậy:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - \left(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right)^2} \quad (\text{đpcm})\]
