Chứng minh điểm thuộc đường tròn và viết phương trình tiếp tuyến

Problem:

Cho đường tròn \((C): (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\) và điểm \(M(4;-2)\). a) Chứng minh điểm \(M(4;-2)\) thuộc đường tròn \((C)\). b) Xác định tâm và bán kính của \((C)\). c) Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\). Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\). Từ đó, viết phương trình đường thẳng \(\Delta\).

Problem Analysis

Problem Summary

Cho đường tròn \((C): (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\) và điểm \(M(4;-2)\). Cần chứng minh \(M\) thuộc \((C)\), xác định tâm và bán kính, rồi viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\).

Required Knowledge

Điểm \(M(x_0; y_0)\) thuộc đường tròn \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\) khi và chỉ khi \((x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = R^2\). Đường tròn \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\) có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R\). Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thì vuông góc với bán kính tại điểm đó, nên vectơ \(\overrightarrow{IM}\) chính là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến. Phương trình đường thẳng qua \(M(x_0;y_0)\) với vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A;B)\) là \(A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0\).

Solution Method

Chỉ có một cách giải. Câu a thay tọa độ \(M\) vào phương trình để kiểm tra đẳng thức. Câu b đọc trực tiếp tâm và bán kính từ phương trình. Câu c tính \(\overrightarrow{IM}\) từ tâm \(I\) đến \(M\), lấy đó làm vectơ pháp tuyến rồi viết phương trình tiếp tuyến qua \(M\).

Real-world Application

Khi thiết kế một vòng quay ở công viên, kỹ sư cần xác định vị trí đặt thanh chắn sao cho thanh đó tiếp xúc đúng một điểm trên vòng tròn và vuông góc với bán kính — đây chính là bài toán tìm tiếp tuyến tương tự câu c.

Hints (0/3)

Detailed solution

Exercises in this lesson— Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Feedback

Noticed something off? Your feedback helps us improve.

...

Related exercises

View all exercises →