Chứng minh công thức đường trung tuyến qua định lí cos
Problem:
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a) \(\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0\)
b) \(MA^2 + MB^2 - AB^2 = 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}\) và \(MA^2 + MC^2 - AC^2 = 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}\)
c) \(MA^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}\) (công thức đường trung tuyến)
a) Vì M nằm giữa B và C nên \(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{AMC}\) là hai góc bù nhau:
\[\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ\]
Suy ra \(\cos\widehat{AMB} = \cos(180^\circ - \widehat{AMC}) = -\cos\widehat{AMC}\)
Vậy \(\cos\widehat{AMB} + \cos\widehat{AMC} = 0\). (đpcm)
b) Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMB:
\[AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos\widehat{AMB}\]
Chuyển vế:
\[MA^2 + MB^2 - AB^2 = 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos\widehat{AMB} \quad (1)\]
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC:
\[AC^2 = MA^2 + MC^2 - 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos\widehat{AMC}\]
Chuyển vế:
\[MA^2 + MC^2 - AC^2 = 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos\widehat{AMC} \quad (2)\]
c) Từ (1): \(MA^2 = AB^2 - MB^2 + 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos\widehat{AMB}\)
Từ (2): \(MA^2 = AC^2 - MC^2 + 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos\widehat{AMC}\)
Cộng vế theo vế:
\[2MA^2 = AB^2 + AC^2 - MB^2 - MC^2 + 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos\widehat{AMB} + 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos\widehat{AMC}\]
Vì AM là trung tuyến nên \(MB = MC = \dfrac{BC}{2}\), do đó:
\[2MA^2 = AB^2 + AC^2 - 2\left(\frac{BC}{2}\right)^2 + 2 \cdot MA \cdot MB\left(\cos\widehat{AMB} + \cos\widehat{AMC}\right)\]
Theo câu a, \(\cos\widehat{AMB} + \cos\widehat{AMC} = 0\), nên:
\[2MA^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot \frac{BC^2}{4} = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2}\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[MA^2 = \frac{AB^2 + AC^2 - \dfrac{BC^2}{2}}{2} = \frac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}\]
Vậy \(MA^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}\). (đpcm)