Chứng minh đẳng thức vectơ trong tứ giác ABCD

Problem:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\]

Problem Analysis

Problem Summary

Tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Cần chứng minh ba biểu thức vectơ bằng nhau: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\).

Required Knowledge

Quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Tính chất trung điểm: nếu M là trung điểm AB thì \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\), tương tự nếu N là trung điểm CD thì \(\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}\).

Solution Method

Có một hướng giải chính. Biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo hai đường đi khác nhau: qua A, D và qua B, C. Cộng hai biểu diễn đó lại để được \(2\overrightarrow{MN}\), sau đó dùng tính chất trung điểm để triệt tiêu các cặp vectơ ngược chiều. Với đẳng thức vế phải, dùng quy tắc ba điểm để biến đổi \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\) về dạng \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\).

Real-world Application

Khi em kéo một tấm bảng hình tứ giác theo hai hướng khác nhau, lực tổng hợp tác dụng lên đường nối trung điểm hai cạnh đối diện liên quan trực tiếp đến tổng các vectơ lực — đây chính là ý nghĩa hình học của đẳng thức trên.

Chứng minh đẳng thức vectơ trong tứ giác ABCD

Problem:

Problem Analysis

Hints (0/3)

Detailed solution

Exercises in this lesson— Bài 9. Tích của một vecto với một số

Feedback

Related exercises