Đặt \(k = \dfrac{1}{|\overrightarrow{a}|}\). Vì \(\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}\) nên \(|\overrightarrow{a}| > 0\), do đó \(k > 0\).
Đặt \(\overrightarrow{u} = \dfrac{1}{|\overrightarrow{a}|}\,\overrightarrow{a} = k\,\overrightarrow{a}\).
Tính độ dài của \(\overrightarrow{u}\):
\[|\overrightarrow{u}| = |k\,\overrightarrow{a}| = |k|\,|\overrightarrow{a}| = k\,|\overrightarrow{a}| = \frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\cdot|\overrightarrow{a}| = 1.\]
Vậy \(\overrightarrow{u}\) có độ dài bằng 1, tức là \(\overrightarrow{u}\) là vectơ đơn vị.
Mặt khác, vì \(k = \dfrac{1}{|\overrightarrow{a}|} > 0\) nên \(\overrightarrow{u} = k\,\overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\).
Kết luận: \(\dfrac{1}{|\overrightarrow{a}|}\,\overrightarrow{a}\) (hay \(\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)) là một vectơ đơn vị và cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\). \(\blacksquare\)
