a) \(\sqrt{3x^2 - 4x - 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 3}\)
Bình phương hai vế:
\[3x^2 - 4x - 1 = 2x^2 - 4x + 3\]
\[\Leftrightarrow x^2 = 4\]
\[\Leftrightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = -2\]
Thử lại:
- \(x = 2\): vế trái \(\sqrt{12 - 8 - 1} = \sqrt{3}\), vế phải \(\sqrt{8 - 8 + 3} = \sqrt{3}\). Thỏa mãn.
- \(x = -2\): vế trái \(\sqrt{12 + 8 - 1} = \sqrt{19}\), vế phải \(\sqrt{8 + 8 + 3} = \sqrt{19}\). Thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm: \(S = \{-2;\, 2\}\).
---
b) \(\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}\)
Bình phương hai vế:
\[x^2 + 2x - 3 = -2x^2 + 5\]
\[\Leftrightarrow 3x^2 + 2x - 8 = 0\]
\[\Leftrightarrow (3x - 4)(x + 2) = 0\]
\[\Leftrightarrow x = \frac{4}{3} \text{ hoặc } x = -2\]
Thử lại:
- \(x = -2\): vế trái \(\sqrt{4 - 4 - 3} = \sqrt{-3}\). Không xác định. Loại.
- \(x = \dfrac{4}{3}\): vế trái \(\sqrt{\dfrac{16}{9} + \dfrac{8}{3} - 3} = \sqrt{\dfrac{7}{9}}\), vế phải \(\sqrt{-\dfrac{32}{9} + 5} = \sqrt{\dfrac{13}{9}}\).
Kiểm tra lại chính xác: \(x^2 + 2x - 3 = \dfrac{16}{9} + \dfrac{8}{3} - 3 = \dfrac{16 + 24 - 27}{9} = \dfrac{13}{9}\); \(-2x^2 + 5 = -\dfrac{32}{9} + 5 = \dfrac{13}{9}\). Hai vế bằng nhau, thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{4}{3}\).
---
c) \(\sqrt{2x^2 + 3x - 3} = \sqrt{-x^2 - x + 1}\)
Bình phương hai vế:
\[2x^2 + 3x - 3 = -x^2 - x + 1\]
\[\Leftrightarrow 3x^2 + 4x - 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow (3x - 2)(x + 2) = 0\]
\[\Leftrightarrow x = \frac{2}{3} \text{ hoặc } x = -2\]
Thử lại:
- \(x = -2\): vế trái \(\sqrt{8 - 6 - 3} = \sqrt{-1}\). Không xác định. Loại.
- \(x = \dfrac{2}{3}\): vế trái \(2 \cdot \dfrac{4}{9} + 3 \cdot \dfrac{2}{3} - 3 = \dfrac{8}{9} + 2 - 3 = \dfrac{8}{9} - 1 = -\dfrac{1}{9} < 0\). Không xác định. Loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.
---
d) \(\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}\)
Bình phương hai vế:
\[-x^2 + 5x - 4 = -2x^2 + 4x + 2\]
\[\Leftrightarrow x^2 + x - 6 = 0\]
\[\Leftrightarrow (x + 3)(x - 2) = 0\]
\[\Leftrightarrow x = -3 \text{ hoặc } x = 2\]
Thử lại:
- \(x = -3\): vế trái \(\sqrt{-9 - 15 - 4} = \sqrt{-28}\). Không xác định. Loại.
- \(x = 2\): vế trái \(\sqrt{-4 + 10 - 4} = \sqrt{2}\), vế phải \(\sqrt{-8 + 8 + 2} = \sqrt{2}\). Thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\).
