Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cách 1: Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp là \(I(a; b)\). Vì \(IA = IB = IC\) nên \(IA^2 = IB^2 = IC^2\). Từ \(IA^2 = IB^2\): \[(6-a)^2 + (-2-b)^2 = (4-a)^2 + (2-b)^2\] \[36 - 12a + a^2 + 4 + 4b + b^2 = 16 - 8a + a^2 + 4 - 4b + b^2\] \[40 - 12a + 4b = 20 - 8a - 4b\] \[-4a + 8b = -20 \Rightarrow a - 2b = 5 \quad (1)\] Từ \(IB^2 = IC^2\): \[(4-a)^2 + (2-b)^2 = (5-a)^2 + (-5-b)^2\] \[16 - 8a + a^2 + 4 - 4b + b^2 = 25 - 10a + a^2 + 25 + 10b + b^2\] \[20 - 8a - 4b = 50 - 10a + 10b\] \[2a - 14b = 30 \Rightarrow a - 7b = 15 \quad (2)\] Từ (1) và (2): trừ (1) cho (2): \[(a - 2b) - (a - 7b) = 5 - 15\] \[5b = -10 \Rightarrow b = -2\] Thay vào (1): \(a - 2(-2) = 5 \Rightarrow a = 1\) Vậy tâm \(I(1; -2)\). Bán kính: \(R = IA = \sqrt{(1-6)^2 + (-2+2)^2} = \sqrt{25} = 5\) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: \[(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25\] Cách 2: Gọi phương trình đường tròn cần tìm là: \(x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0\) với \(a^2 + b^2 - c > 0\). Vì A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5) thuộc đường tròn, thay lần lượt vào phương trình: \[\left\{\begin{array}{l}36 + 4 + 12a - 4b + c = 0\\16 + 4 + 8a + 4b + c = 0\\25 + 25 + 10a - 10b + c = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}12a - 4b + c = -40\\8a + 4b + c = -20\\10a - 10b + c = -50\end{array}\right.\] Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2): \(4a - 8b = -20 \Rightarrow a - 2b = -5\) ... (*) Lấy phương trình (2) trừ phương trình (3): \(-2a + 14b = 30 \Rightarrow -a + 7b = 15\) ... (**) Cộng (*) và (**): \(5b = 10 \Rightarrow b = 2\), suy ra \(a = -1\). Thay vào phương trình (2): \(8(-1) + 4(2) + c = -20 \Rightarrow c = -20\). Kiểm tra: \(a^2 + b^2 - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\) (thoả mãn). Phương trình đường tròn: \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0\), tức là \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 25\).