Biểu diễn miền nghiệm và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số tuyến tính

Xét lần lượt từng bất phương trình trong hệ. Bất phương trình \(y - 2x \le 2\): Vẽ đường thẳng \(d_1: y - 2x = 2\) đi qua \((0;2)\) và \((-1;0)\). Thử O(0;0): \(0 - 2\cdot0 = 0 \le 2\) — đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) chứa O. Bất phương trình \(y \le 4\): Vẽ đường thẳng \(d_2: y = 4\) qua \((0;4)\) và \((1;4)\). Thử O(0;0): \(0 \le 4\) — đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ \(d_2\) chứa O. Bất phương trình \(x \le 5\): Vẽ đường thẳng \(d_3: x = 5\) qua \((5;0)\) và \((5;1)\). Thử O(0;0): \(0 \le 5\) — đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ \(d_3\) chứa O. Bất phương trình \(x + y \ge -1\): Vẽ đường thẳng \(d_4: x + y = -1\) qua \((-1;0)\) và \((0;-1)\). Thử O(0;0): \(0 + 0 = 0 \ge -1\) — đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ \(d_4\) chứa O. Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với các đỉnh: - A là giao của \(d_1\) và \(d_2\): giải hệ \(y - 2x = 2\) và \(y = 4\) được \(A(1;4)\). - B là giao của \(d_2\) và \(d_3\): giải hệ \(y = 4\) và \(x = 5\) được \(B(5;4)\). - C là giao của \(d_3\) và \(d_4\): giải hệ \(x = 5\) và \(x + y = -1\) được \(C(5;-6)\). - D là giao của \(d_4\) và \(d_1\): giải hệ \(x + y = -1\) và \(y - 2x = 2\) được \(D(-1;0)\). Tính \(F(x;y) = -x - y\) tại các đỉnh: \[F(1;4) = -1 - 4 = -5\] \[F(5;4) = -5 - 4 = -9\] \[F(5;-6) = -5 - (-6) = 1\] \[F(-1;0) = -(-1) - 0 = 1\] Vậy giá trị lớn nhất của \(F(x;y)\) là \(1\) (đạt tại \(C(5;-6)\) và \(D(-1;0)\)), và giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) là \(-9\) (đạt tại \(B(5;4)\)).