Tính đường cao và diện tích tam giác ABC theo tọa độ

a) Tính vectơ chỉ phương của BC: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2-3;\; -1-2) = (-5;\; -3) \] Vectơ pháp tuyến của BC: \( \vec{n}_{BC} = (3;\; -5) \). Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(3; 2) với vectơ pháp tuyến (3; -5): \[ 3(x - 3) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 1 = 0 \] Độ dài đường cao AK hạ từ đỉnh A(1; 0) xuống BC: \[ AK = d(A, BC) = \frac{|3 \cdot 1 - 5 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-5)^2}} = \frac{|3 + 1|}{\sqrt{34}} = \frac{4}{\sqrt{34}} \] b) Độ dài cạnh BC: \[ BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \]