Gọi J là vị trí phát tín hiệu. Vì ba thiết bị nhận tín hiệu cùng lúc, J cách đều O, A, B. Do đó J là giao của đường trung trực \(d_1\) của OA và đường trung trực \(d_2\) của OB.
Xét đường trung trực \(d_1\) của OA:
Trung điểm M của OA: \(M\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)\).
Vectơ pháp tuyến: \(\vec{n}_1 = \overrightarrow{OA} = (1; 0)\).
Phương trình \(d_1\):
\[1\left(x - \dfrac{1}{2}\right) + 0(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}.\]
Xét đường trung trực \(d_2\) của OB:
Trung điểm N của OB: \(N\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right)\).
Vectơ pháp tuyến: \(\vec{n}_2 = \overrightarrow{OB} = (1; 3)\).
Phương trình \(d_2\):
\[1\left(x - \dfrac{1}{2}\right) + 3\left(y - \dfrac{3}{2}\right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 5 = 0.\]
Toạ độ J là nghiệm của hệ:
\[\left\{\begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2} \\ x + 3y - 5 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2} \\ y = \dfrac{3}{2} \end{array}\right.\]
Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là \(J\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right)\).
