Tìm điểm M thỏa vectơ trong hình bình hành ABCD
Problem:
Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Sau đó tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{CM}\).
Vì ABCD là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành:
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\]
Do đó:
\[\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\]
Vì \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\), tứ giác ABMC là hình bình hành (hai vectơ \(\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{AC}\) bằng nhau, nên BM song song và bằng AC). Vậy M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành.
Trong hình bình hành ABMC:
\[\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}.\]
Trong hình bình hành ABCD:
\[\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.\]
Suy ra \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{DC}\), tức là C là trung điểm của DM.
Vì \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CM}\) và \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC}\), nên:
\[\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{CM}.\]