a) Giao điểm của (E) với trục hoành thỏa mãn hệ:
\[\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\\y = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \pm a\\y = 0\end{array}\right.\]
Vậy \(A_1(-a;\, 0)\) và \(A_2(a;\, 0)\), suy ra \(A_1A_2 = 2a\).
Giao điểm của (E) với trục tung thỏa mãn hệ:
\[\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\\x = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = 0\\y = \pm b\end{array}\right.\]
Vậy \(B_1(0;\, -b)\) và \(B_2(0;\, b)\), suy ra \(B_1B_2 = 2b\).
b) Vì \(M(x_o; y_o)\) thuộc (E) nên:
\[\frac{x_o^2}{a^2} + \frac{y_o^2}{b^2} = 1\]
Chứng minh \(x_o^2 + y_o^2 \ge b^2\):
Vì \(a > b > 0\) nên \(a^2 > b^2\), suy ra \(\dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{b^2}\), do đó \(\dfrac{x_o^2}{a^2} \le \dfrac{x_o^2}{b^2}\).
Cộng \(\dfrac{y_o^2}{b^2}\) vào cả hai vế:
\[\frac{x_o^2}{a^2} + \frac{y_o^2}{b^2} \le \frac{x_o^2}{b^2} + \frac{y_o^2}{b^2}\]
\[\Rightarrow 1 \le \frac{x_o^2 + y_o^2}{b^2} \Rightarrow b^2 \le x_o^2 + y_o^2\]
Chứng minh \(x_o^2 + y_o^2 \le a^2\):
Tương tự, \(\dfrac{y_o^2}{b^2} \ge \dfrac{y_o^2}{a^2}\), nên:
\[\frac{x_o^2}{a^2} + \frac{y_o^2}{b^2} \ge \frac{x_o^2}{a^2} + \frac{y_o^2}{a^2}\]
\[\Rightarrow 1 \ge \frac{x_o^2 + y_o^2}{a^2} \Rightarrow x_o^2 + y_o^2 \le a^2\]
Vậy \(b^2 \le x_o^2 + y_o^2 \le a^2\).
Vì \(OM = \sqrt{x_o^2 + y_o^2}\) và các giá trị đều không âm, lấy căn bậc hai ba vế:
\[b \le OM \le a\]
