a) Đồ thị đi qua \(A(1;\,0)\):
\[a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -1. \quad (1)\]
Đồ thị đi qua \(B(2;\,4)\):
\[a \cdot 4 + 2b + 1 = 4 \Rightarrow 4a + 2b = 3. \quad (2)\]
Từ (1): \(b = -1 - a\). Thay vào (2):
\[4a + 2(-1-a) = 3 \Rightarrow 2a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{2},\quad b = -\frac{7}{2}.\]
Hàm số cần tìm: \(y = \dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{7}{2}x + 1\).
b) Đồ thị đi qua \(A(1;\,0)\):
\[a + b = -1. \quad (1)\]
Trục đối xứng \(x = 1\):
\[\frac{-b}{2a} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0. \quad (2)\]
Lấy (2) trừ (1): \(a = 1\), suy ra \(b = -2\).
Hàm số cần tìm: \(y = x^2 - 2x + 1\).
c) Đỉnh \(I(1;\,2)\) có hoành độ đỉnh bằng 1:
\[\frac{-b}{2a} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0. \quad (1)\]
Đỉnh nằm trên parabol nên \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 = 2\):
\[a + b = 1. \quad (2)\]
Lấy (1) trừ (2): \(a = -1\), suy ra \(b = 2\).
Hàm số cần tìm: \(y = -x^2 + 2x + 1\).
d) Đồ thị đi qua \(C(-1;\,1)\):
\[a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 1 \Rightarrow a - b = 0 \Rightarrow a = b. \quad (1)\]
Tung độ đỉnh bằng \(-0{,}25\):
\[\frac{-(b^2 - 4a)}{4a} = -0{,}25 \Rightarrow b^2 - 4a = a \Rightarrow b^2 = 5a. \quad (2)\]
Thay \(a = b\) vào (2):
\[b^2 = 5b \Rightarrow b(b - 5) = 0 \Rightarrow b = 0 \text{ hoặc } b = 5.\]
Vì \(a \neq 0\) nên loại \(b = 0\), suy ra \(a = b = 5\).
Hàm số cần tìm: \(y = 5x^2 + 5x + 1\).
