Tính tích vô hướng theo độ dài các cạnh tam giác

Theo công thức tích vô hướng: \[\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| . |\overrightarrow{AC}| . \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)\] Vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng xuất phát từ A nên \(\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = \widehat{BAC}\), suy ra: \[\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{BAC} = c \cdot b \cdot \cos\widehat{BAC}\] Theo định lí cosin trong tam giác ABC: \[\cos\widehat{BAC} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\] Thay vào: \[\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = c \cdot b \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}\] Vậy \(\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2}\).