Chứng minh tập hợp điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn là parabol

Ta có: \[ MF = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}, \quad d(M,\Delta) = |y+1|. \] Xét chuỗi tương đương: \[ MF = d(M,\Delta) \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = |y+1| \] \[ \Leftrightarrow x^2 + (y-1)^2 = (y+1)^2 \] \[ \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1 \] \[ \Leftrightarrow x^2 = 4y \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{4}x^2. \] Vậy tập hợp các điểm \( M \) thỏa mãn \( MF = d(M,\Delta) \) chính là parabol \( y = \dfrac{1}{4}x^2 \).