Chứng minh tập hợp điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn là parabol

Đề bài:

Cho parabol (P): \( y = \dfrac{1}{4}x^2 \). Xét điểm \( F(0;\, 1) \) và đường thẳng \( \Delta: y + 1 = 0 \). Với điểm \( M(x;\, y) \) bất kì, chứng minh rằng: \[ MF = d(M,\, \Delta) \Leftrightarrow M(x;\, y) \text{ thuộc } (P). \]

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho điểm \( F(0;1) \) và đường thẳng \( \Delta: y+1=0 \). Cần chứng minh điều kiện \( MF = d(M,\Delta) \) tương đương với việc \( M \) nằm trên parabol \( y = \dfrac{1}{4}x^2 \).

Kiến thức cần dùng

Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( MF = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \); công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nằm ngang \( y = c \) là \( |y - c| \); khai triển hằng đẳng thức \( (a \pm b)^2 \).

Phương pháp giải

Có một cách giải. Viết biểu thức \( MF \) và \( d(M,\Delta) \) theo tọa độ, sau đó bình phương hai vế để khử căn, rút gọn và đưa về phương trình của parabol.

Ứng dụng thực tế

Mặt gương parabol trong đèn pin được thiết kế sao cho mọi điểm trên mặt gương đều cách đều nguồn sáng và một mặt phẳng phía sau — đó chính là tính chất em vừa chứng minh. Nếu tiêu điểm của gương đặt ở \( F(0;1) \), em tính được phương trình mặt cắt ngang của gương là gì?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 22. Ba đường conic

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...