Tính AC trong tam giác ABC:
Áp dụng định lí cosin:
\[AC^2 = BC^2 + BA^2 - 2 \cdot BC \cdot BA \cdot \cos(\widehat{ABC})\]
\[AC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 105^\circ\]
\[AC^2 = 36 + 64 - 96\cos 105^\circ \approx 100 + 24{,}84 \approx 124{,}84\]
\[AC \approx 11{,}17 \text{ (km)}\]
Tính góc ACB trong tam giác ABC:
Áp dụng định lí sin:
\[\frac{AB}{\sin(\widehat{ACB})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})}\]
\[\sin(\widehat{ACB}) = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11{,}17} \approx \frac{8 \cdot 0{,}9659}{11{,}17} \approx 0{,}6922\]
\[\widehat{ACB} \approx 43{,}77^\circ\]
Suy ra góc ACD:
\[\widehat{ACD} = 135^\circ - 43{,}77^\circ = 91{,}23^\circ\]
Tính AD trong tam giác ACD:
Áp dụng định lí cosin:
\[AD^2 = CD^2 + CA^2 - 2 \cdot CD \cdot CA \cdot \cos(\widehat{ACD})\]
\[AD^2 = 12^2 + 11{,}17^2 - 2 \cdot 12 \cdot 11{,}17 \cdot \cos 91{,}23^\circ\]
\[AD^2 \approx 144 + 124{,}77 - 268{,}08 \cdot (-0{,}0215) \approx 274{,}54\]
\[AD \approx 16{,}57 \text{ (km)}\]
So sánh đường mới và đường cũ:
Độ dài đường cũ: \(8 + 6 + 12 = 26 \text{ km}\)
Độ dài giảm được: \(26 - 16{,}57 = 9{,}43 \text{ (km)}\)
Vậy đường hầm mới ngắn hơn đường cũ khoảng \(9{,}43\) km.
