Skip to main content
ClassBk LogoClassBk

Chứng minh đẳng thức khoảng cách từ điểm M đến ba đỉnh tam giác qua trọng tâm G

Problem:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: \[MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\]

Problem Analysis

Problem Summary
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là điểm bất kì. Cần chứng minh đẳng thức liên hệ tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba đỉnh với khoảng cách từ M đến G và từ G đến ba đỉnh.
Required Knowledge
Bình phương của một vectơ: \(\overrightarrow{MA}^2 = MA^2\). Quy tắc cộng vectơ: \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\). Khai triển bình phương tổng hai vectơ: \((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\). Tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\).
Solution Method
Có một cách giải chính. Viết lại \(MA^2 + MB^2 + MC^2\) dưới dạng tổng bình phương vectơ, sau đó tách mỗi vectơ \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), \(\overrightarrow{MC}\) thành tổng \(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\), \(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\), \(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\) rồi khai triển và dùng tính chất trọng tâm để triệt tiêu các tích vô hướng.
Real-world Application
Trong một lớp học có 3 bạn ngồi ở ba góc phòng, nếu em đứng ở vị trí trung tâm của nhóm (trọng tâm), tổng bình phương khoảng cách từ em đến ba bạn sẽ nhỏ nhất so với bất kì vị trí nào khác — đây chính là lý do trọng tâm được dùng để chọn vị trí tối ưu trong nhiều bài toán tối tiểu hóa khoảng cách.

Hints (0/3)

Detailed solution

Exercises in this lesson— Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto

Feedback

Noticed something off? Your feedback helps us improve.

...

Related exercises

View all exercises →