So sánh thời gian sang bờ của hai tàu dùng vectơ vận tốc

Gọi hai bờ sông là hai đường thẳng song song \(d_1, d_2\). Tàu 1 xuất phát từ A hướng hạ lưu, tàu 2 xuất phát từ B hướng thượng nguồn. Dùng các vectơ \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) lần lượt biểu diễn vận tốc dòng nước, vận tốc riêng của tàu 1 và tàu 2. Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{v_1}\), điểm K sao cho \(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{v_2}\). Vì hai tàu có vận tốc riêng bằng nhau, cùng tạo góc nhọn bằng nhau với bờ nhưng ngược hướng, tứ giác ABKM là hình thang cân. Lấy thêm điểm N sao cho \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{v}\) và điểm L sao cho \(\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{v}\). Khi đó: \[\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v}, \quad \overrightarrow{BL} = \overrightarrow{v_2} + \overrightarrow{v}\] là vận tốc thực của tàu 1 và tàu 2. Tàu 1 di chuyển theo hướng \(\overrightarrow{AN}\) đến điểm D trên bờ kia, tàu 2 di chuyển theo hướng \(\overrightarrow{BL}\) đến điểm C trên bờ kia. Các đường thẳng KL, MN, \(d_1\), \(d_2\) đôi một song song. Áp dụng định lí Ta-lét: \[\frac{AD}{AN} = \frac{BC}{BL} = k\] Trong đó AD và AN lần lượt là quãng đường và độ lớn vận tốc thực của tàu 1; BC và BL lần lượt là quãng đường và độ lớn vận tốc thực của tàu 2. Thời gian của tàu 1: \(t_1 = \dfrac{AD}{AN} = k\). Thời gian của tàu 2: \(t_2 = \dfrac{BC}{BL} = k\). Vậy \(t_1 = t_2\), hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.