Thiết lập phương trình tính độ dài và diện tích tứ giác ABCD

Đặt \(AH = x\) với \(x > 0\). Xét tam giác AHD vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore: \[HD^2 = AD^2 - AH^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2\] \[\Rightarrow HD = \sqrt{25 - x^2}\] Từ đó: \[HC = HD + DC = \sqrt{25 - x^2} + 8\] \[HB = AH + AB = x + 2\] Xét tam giác HBC vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore: \[BC^2 = HB^2 + HC^2\] \[13^2 = (x+2)^2 + \left(\sqrt{25 - x^2} + 8\right)^2\] \[169 = x^2 + 4x + 4 + 25 - x^2 + 16\sqrt{25 - x^2} + 64\] \[169 = 4x + 93 + 16\sqrt{25 - x^2}\] \[16\sqrt{25 - x^2} = -4x + 76\] \[4\sqrt{25 - x^2} = -x + 19\] Bình phương hai vế: \[16(25 - x^2) = x^2 - 38x + 361\] \[400 - 16x^2 = x^2 - 38x + 361\] \[17x^2 - 38x - 39 = 0\] Giải phương trình bậc hai: \[\Delta = 38^2 + 4 \cdot 17 \cdot 39 = 1444 + 2652 = 4096 = 64^2\] \[x = \frac{38 + 64}{34} = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{38 - 64}{34} = \frac{-13}{17}\] Kiểm tra vào phương trình \(4\sqrt{25 - x^2} = -x + 19\): cả hai giá trị đều thỏa mãn. Do \(x > 0\) nên chọn \(x = 3\), tức \(AH = 3\). Tính các độ dài còn lại: \[HD = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\] \[HC = 4 + 8 = 12, \quad HB = 3 + 2 = 5\] Diện tích tam giác HAD: \[S_1 = \frac{1}{2} \cdot HA \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\] Diện tích tam giác HBC: \[S_2 = \frac{1}{2} \cdot HB \cdot HC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\] Diện tích tứ giác ABCD: \[S = S_2 - S_1 = 30 - 6 = 24\]