Giải bất phương trình bậc hai bằng bảng xét dấu

a) Tam thức \(f(x) = x^2 - 1\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 > 0\). Hai nghiệm: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\). Bảng xét dấu: Tam thức \(\ge 0\) khi \(x \le -1\) hoặc \(x \ge 1\). Tập nghiệm: \(\left(-\infty; -1\right] \cup \left[1; +\infty\right)\). b) Tam thức \(g(x) = x^2 - 2x - 1\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8 > 0\). Hai nghiệm: \(x_1 = 1 - \sqrt{2}\), \(x_2 = 1 + \sqrt{2}\). Bảng xét dấu: Tam thức \(< 0\) khi \(1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}\). Tập nghiệm: \(\left(1 - \sqrt{2};\ 1 + \sqrt{2}\right)\). c) Tam thức \(h(x) = -3x^2 + 12x + 1\) có \(a = -3 < 0\). Tính \(\Delta' = 6^2 - (-3) \cdot 1 = 36 + 3 = 39 > 0\). Hai nghiệm: \(x_1 = \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3}\), \(x_2 = \dfrac{6 + \sqrt{39}}{3}\). Bảng xét dấu: Vì \(a < 0\), tam thức dương ở giữa hai nghiệm và âm ở ngoài. Bất phương trình \(\le 0\) khi \(x \le \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3}\) hoặc \(x \ge \dfrac{6 + \sqrt{39}}{3}\). Tập nghiệm: \(\left(-\infty;\ \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3}\right] \cup \left[\dfrac{6 + \sqrt{39}}{3}; +\infty\right)\). d) Tam thức \(k(x) = 5x^2 + x + 1\) có \(a = 5 > 0\) và \(\Delta = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 1 - 20 = -19 < 0\). Vì \(\Delta < 0\) và \(a > 0\), tam thức \(k(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó \(5x^2 + x + 1 \ge 0\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tập nghiệm: \(\mathbb{R}\).