Tính khoảng cách từ vị trí ném bóng đến các gôn trong sân bóng chày
Problem:
Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher's mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới gôn 1 và gôn 3.
Bước 1: Tính đường chéo AC.
Vì ABCD là hình vuông cạnh 27,4 m, áp dụng định lí Pythagore:
\[
AC = \sqrt{CD^2 + DA^2} = \sqrt{27{,}4^2 + 27{,}4^2} \approx 38{,}75 \text{ m}
\]
Suy ra:
\[
OC = AC - OA \approx 38{,}75 - 18{,}44 = 20{,}31 \text{ m}
\]
Bước 2: Tính OD bằng định lí cosin trong tam giác OCD.
Trong tam giác OCD:
\[
\begin{cases} CD = 27{,}4 \\ CO = 20{,}31 \\ \widehat{C} = 45° \end{cases}
\]
Áp dụng định lí cosin:
\[
OD^2 = CD^2 + CO^2 - 2 \cdot CD \cdot CO \cdot \cos 45°
\]
\[
OD^2 = 27{,}4^2 + 20{,}31^2 - 2 \cdot 27{,}4 \cdot 20{,}31 \cdot \cos 45° \approx 376{,}255
\]
\[
OD \approx 19{,}4 \text{ m}
\]
Bước 3: Tính OB.
Xét tam giác COB và tam giác COD:
- CB = CD = 27,4 m (cạnh hình vuông)
- CO chung
- \(\widehat{BCO} = \widehat{DCO} = 45°\) (đường chéo hình vuông chia đôi góc vuông)
Vậy \(\Delta COB = \Delta COD\) (c.g.c), suy ra \(OB = OD \approx 19{,}4\) m.
Khoảng cách từ vị trí ném bóng đến gôn 1 và gôn 3 đều xấp xỉ 19,4 m.