Giải phương trình chứa căn bậc hai

a) \(\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4\)

Bình phương hai vế:

\(6x^2 + 13x + 13 = (2x+4)^2 = 4x^2 + 16x + 16\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 - 3x - 3 = 0\)

\(\Delta = 9 + 24 = 33\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}\) hoặc \(x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\)

Thử lại cả hai giá trị vào phương trình gốc, cả hai đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm: \(S = \left\{\frac{3 - \sqrt{33}}{4};\, \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right\}\)

b) \(\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x\)

Bình phương hai vế:

\(2x^2 + 5x + 3 = (-3-x)^2 = x^2 + 6x + 9\)

\(\Leftrightarrow x^2 - x - 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x-3)(x+2) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = -2\)

Thử lại:

- \(x = 3\): vế phải \(-3 - 3 = -6 < 0\), không thỏa mãn.

- \(x = -2\): vế phải \(-3 - (-2) = -1 < 0\), không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) \(\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3\)

Bình phương hai vế:

\(3x^2 - 17x + 23 = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 - 11x + 14 = 0\)

\(\Delta = 121 - 112 = 9\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{11 - 3}{4} = 2\) hoặc \(x = \frac{11 + 3}{4} = \frac{7}{2}\)

Thử lại:

- \(x = 2\): vế phải \(2 - 3 = -1 < 0\), không thỏa mãn.

- \(x = \frac{7}{2}\): vế phải \(\frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2} > 0\); vế trái \(\sqrt{3 \cdot \frac{49}{4} - 17 \cdot \frac{7}{2} + 23} = \sqrt{\frac{147}{4} - \frac{238}{4} + \frac{92}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{7}{2}\).

d) \(\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2\)

Bình phương hai vế:

\(-x^2 + 2x + 4 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 - 6x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x(x - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)

Thử lại:

- \(x = 0\): vế phải \(0 - 2 = -2 < 0\), không thỏa mãn.

- \(x = 3\): vế phải \(3 - 2 = 1 > 0\); vế trái \(\sqrt{-9 + 6 + 4} = \sqrt{1} = 1\). Thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).